剪绳子问题

问题概述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m] 。请问 k[0]k[1]…*k[m] 可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度是8时， 我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

问题分析

数学推论

推论一： 将绳子 以相等的长度等分为多段 ，得到的乘积最大
推论二： 尽可能将绳子以长度 3 等分为多段时，乘积最大。

切分规则

最优：3。把绳子尽可能切为多个长度为 3的片段，留下的最后一段绳子的长度可能为 0,1,2三种情况。
次优：2 。若最后一段绳子长度为 2；则保留，不再拆为 1+1。
最差：1 。若最后一段绳子长度为 1；则应把一份 3+1 替换为 2+2，因为 2×2>3×1。

算法步骤

当 n≤3时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成 m段，因此必须剪出一段长度为 1的绳子，即返回 n−1 。
当 n>3时，求 n除以 3的 整数部分 a和 余数部分 b。即 n=3^a+b，并分为以下三种情况：
当 b=0时，直接返回 3a3^a；
当 b=1时，要将一个 1+3转换为 2+2，因此返回 3a−13^{a-1}×4；
当 b=2时，返回$ 3^a$×2。

代码实现

Java

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public class Cut_Rope {
    public int getMaxMultiple(int n){
        if(n<=3) return n-1;
        int a=n/3;    //这里之后就是n>3的情况
        int b=n%3;
        //在上述条件成立下继续判断b
        if(b==0)  return (int)Math.pow(3,a);         
        if(b==1)  return (int)Math.pow(3,a-1)*4;
        return (int)Math.pow(3,a)*2;             
        //这里即b不满足上述两种情况，默认b=2,不能再写判断了，
        // 否则没有最终的返回
    }
    public static void main(String[] args){
        Cut_Rope cut_rope=new Cut_Rope();      System.out.println(cut_rope.getMaxMultiple(10));
    }
}

c++

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class Solution {

public:

  int cuttingRope(int n) {

    if(n<=3) return n-1;

    int a=n/3;       //这里之后就是n>3的情况

    int b=n%3;
    //在上述条件成立下继续判断b
    if(b==0) return pow(3,a);     
    //c++下求幂直接用pow（a，b）
    if(b==1) return pow(3,a-1)*4;

    return pow(3,a)*2; 



  }

};

大数取模

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

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//基于贪心的思路
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n == 2) {
            return 1;
        }
        if(n == 3){
            return 2;
        }
        int mod = (int)1e9 + 7;
        long res = 1;
        while(n > 4) {
            res *= 3;
            res %= mod;
            n -= 3;
        }
        return (int)(res * n % mod);
    }
}